第一次数学危机是什么？

“学霸”这个词，现在就是指学习特别好的人。但是学霸这个词的本意并非如此，而是指那些在学术界利用自己的地位铲除异己，打压其他人的坏蛋，也叫“学术界的恶棍”。大家知道最早的学霸是谁吗？2000多年前，古希腊的毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，他认为万物都是有理数，而他的学生希帕索斯发现了第一个无理数：根号2，也就动摇了学派信仰的根基。于是，可怜的希帕索斯就被扔到爱琴海里去了。这个过程就叫做第一次数学危机。

很久以前做了这个视频：最早的学霸是谁？再次发出来给大家复习一下。

以下为我的科普书《十分钟智商运动》中相关内容的文章。

1“学霸”的来历

“学霸”这个词，现在就是指学习特别好的人。但是学霸这个词的本意并非如此，而是指那些在学术界利用自己的地位铲除异己，打压其他人的坏蛋，也叫“学术界的恶棍”。大家知道最早的学霸是谁吗？

在公元前500年左右，也就是中国的春秋战国时期吧，地球上并没有多少国家。在那个时期的希腊，以毕达哥拉斯为代表的毕达哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。

例如，他们提出了毕达哥拉斯定理，也就是我们熟知的勾股定理。这个定理告诉我们：一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

同时，毕达哥拉斯学派的观点是“万物皆数”，而且都是整数，他们认为宇宙的本质就是数，研究数学就是研究宇宙。

比如一根数轴，随便扔一根针扎在数轴上，它可能会戳中一个整数，比如A点（-3）、C点（3），也可能戳中B点（-0.5），那么B这个点该如何写作整数呢？

毕达哥拉斯说，这个点虽然不能写作一个整数，但是可以写作两个整数的比：-0.5=-1/2，瞧，还是整数！

我们把可以写作两个整数之比的数叫做有理数，分数就是有理数，而整数显然可以写作它自身与1的比，所以整数也是有理数。这样，毕达哥拉斯的观点可以概括为：数轴上任意一点都对应一个有理数。

2有理数的分类

第一类叫做整数，例如0，1，2，…

第二类叫做有限小数，它总可以写作一个分数的形式，例如：

第三类叫做无限循环小数，它也能写作一个分数的形式。例如

有同学可能要问，那0.343434…这个循环小数怎么写作分数呢？数学上把循环小数转化成分数的方法是首先数出循环节的位数，比如这里循环节是34，两位。然后再利用循环节除以循环节位数个9，也就是：

3可怜的希帕索斯

看起来一切是那样的完美！可是在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，有一天，学派内部一个年轻学者希帕索斯提出了一点疑问。

“如果一个直角三角形两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示成两个整数的比呢？”

显而易见，根据勾股定理，斜边的的长度是√2。但是√2 如何才能表示成两个整数的比呢？希帕索斯为这个问题苦苦思索却没有答案，他只好求助于他的老师：毕达哥拉斯。

天真地希帕索斯以为，毕达哥拉斯会给他答案，可谁知道，希帕索斯的问题居然动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础：万物皆是整数（或整数的比）。毕达哥拉斯实在无法解答这个问题，但是他又不想推翻自己已经对数和宇宙的信仰。

最终，毕达哥拉斯选择了隐藏这个问题，他把可怜的希帕索斯扔进了爱琴海里淹死了。希帕索斯成为历史上为探究真理而献身的人，而毕达哥拉斯则成了历史上第一位学术界的恶棍——学霸。

整个这件事，就被称为第一次数学危机。

4危机如何解决？

为了解决这个危机，人们提出了无理数的概念。所谓无理数，就是无限不循环小数，无法表示成整数的比。例如圆周率π=3.1415926...、自然对数的底e=2.71828...、√2 等，都是无理数。人们又把有理数和无理数统称为实数。

现在我们知道，数轴上的点不是与有理数一一对应，而是与实数一一对应。

提出了实数的概念之后，人们又想，那么如果把-1开平方，那么等于多少呢？我们知道，任何实数的平方都是非负的，所以-1貌似不能开平方。但是人们受到当年希帕索斯的启发，认为这个数的存在还是有意义的，人们把这个数叫做虚数i, 并且

人们把实数和虚数又统称为复数。瞧，我们对数的认识越来越深刻了！

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李永乐

李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。

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